EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Multiplicación de monomios

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

5 · (2x² y³ z) = 10x² y³ z

Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base

axⁿ · bx^m = (a · b)x^{n +m}

(5x² y³ z) · (2 y² z²) = 10 x² y⁵ z³

1. Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axⁿ + bxⁿ= (a + b)xⁿ

Ejemplo:

2x²y³z + 3x²y³z = (2 + 3)x²y³z = 5x²y³z

Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Ejemplo:

2x²y³+ 3x²y³z

2. Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.

Ejemplo:

5 · (2x²y³z) = 10x²y³z

3. Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base.

axⁿ · bx^m = (a · b)x^{n + m}

Ejemplo:

(5x²y³z) · (2y²z²) = (2 · 5) x²y³⁺²z¹⁺² = 10x²y⁵z³

4. División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios cuando:
1Tienen la misma parte literal
2El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base.

axⁿ : bx^m = (a : b)x^{n − m}

Ejemplo:

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Ejemplo:

5. Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.

(axⁿ)^m = a^m · x^{n · m}

Ejemplos:

(2x³)³ = 2³ · (x³)³= 8x⁹

(−3x²)³ = (−3)³ · (x²)³= −27x⁶

Multiplicación de binomios

Los binomios se usan ampliamente en el campo del álgebra, al igual que en las ciencias físicas y químicas. Los binomios son expresiones algebráicas que contienen dos monomios y también se consideran polinomios muy básicos. Los monomios son expresiones que pueden contener uno o más de los siguientes elementos: una base, una variable (indicada por una letra) y un exponente. Aunque parezca complejo, multiplicar dos binomios entre sí es bastante sencillo si estás familiarizado con un par de reglas.

EJEMPLO:

(a + b) . (x + y) =
= a . (x + y) + b . (x + y )
= ax + ay + bx + by
–
(a + b) . (a – b) =
= a . (a – b) + b . (a – b)
= aa – ab + ba – bb
= a² - ab + ab – b²
= a² – b²

  

^{EJEMPLO Nº 2}

1. Multiplica el primer término del primer binomio por el primer término del segundo binomio, pero recuerda multiplicar los valores de las bases y sumar los exponentes. Por ejemplo en la expresión (2a + 3b)(a + 7b) debes multiplicar 2a * 1a para obtener 2a^2.
2. Multiplica el primer término del primer binomio por el segundo término del segundo binomio (los números "exteriores"). En el ejemplo (2a + 3b)(a + 7b) debes multiplicar 2a * 7b. Este término simplificado equivale a 14ab. 
3. Multiplica el segundo término del primer binomio por el primer término del segundo (los números "internos"). En el ejemplo (2a + 3b)(a + 7b) debes multiplicar 3b * 1a. Este término simplificado es equvalente a 3ba, o 3ab. 
4. Multiplica el segundo término del primer binomio por el segundo término del segundo binomio (los "últimos" números). Para el ejemplo (2a + 3b)(a + 7b) debes multiplicar 3b * 7b, que equivale a 21b^2.
5. Coloca los cuatro valores en una sola ecuación, sumándolos entre sí. En el ejemplo (2a + 3b)(a + 7b), tienes los términos 2a^2, 14ab, 3ab, y 21b^2. Como 14ab y 3ab tienen las mismas letras, estos pueden sumarse entre sí para simplificar. Por lo tanto la respuesta del ejemplo es 2a^2 + 17ab + 21b^2.
   

   2 términos × 1 término   (binomio por monomio)

   Multiplica cada uno de los dos términos por el que está solo, así:
   
   (Hice este un poco más rápido porque multipliqué de cabeza antes de escribir)
   

   2 términos × 2 términos (binomio por binomio)

   
   

   Cada uno de los dos términos en el primer binomio

   se multiplica por

   Cada uno de los dos términos del segundo binomio

   Eso son cuatro multiplicaciones diferentes... ¿por qué?
   

   	Haciendo parejas Dos amigas (Alicia y Bea) retan a dos amigos (Carlos y David) a partidos individuales de tenis.
   ¿Cuántos partidos son? Alicia juega contra Carlos, y después contra David. Bea también juega contra Carlos y contra David. Podrían jugar en cualquier orden, siempre que cada una de las amigas juegue contra cada uno de los amigos.

   ¡Es lo mismo cuando multiplicamos binomios!
   En lugar de Alicia y Bea, usamos a y b, y Carlos y David pueden ser c y d:
   
   Puedes multiplicarlos en cualquier orden siempre que cada uno de los dos primeros términos se multiplique por cada uno de los dos segundos términos.
   Aquí tienes una manera de acordarte de todas las multiplicaciones. "PIES" significa "Primeros, Interiores, Exteriores, Segundos":
   

   Primeros: ac Interiores: bc Exteriores: ad Segundos: bd

   Así que multiplicas los "Primeros" (el primer término de cada polinomio), después los "Interiores", etc.
   

   Multiplicación de Polinomios

   
   

   1. Multiplicación de un número por un polinomio

   Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales.
   

   Ejemplo:

   3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6
   

   2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

   Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
   

   Ejemplo:

   3x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) =
   = 6x⁵− 9x⁴ + 12x³ − 6x²
   

   3. Multiplicación de polinomios

   Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.
   Mira la demostración con el siguiente ejemplo:
   

   P(x) = 2x² − 3       Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

   OPCIÓN 1

   1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

   P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =
   = 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³+ 9x² − 12x =

   2Se suman los monomios del mismo grado.

   = 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

   3Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

   Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

   OPCIÓN 2